Oblast: Racionalni algebarski izrazi
Lekcija: Rastavljanje polinoma na činioce – kvadrat i kub binoma
Razred: 1. razred srednje škole

Monom je polinom koji sadrži samo jedan član. Monom može da bude sama konstanta ili proizvod konstante i stepena promenljivih gde su eksponenti promenljivih prirodni brojevi.

4,  x, –²/₃x,   xy, 2x²y⁴, …

Kako x ako kažemo da je monom proizvod konstante i stepena promenljive?

x=1x¹

Binom je polinom koji sadrži dva člana povezanih operacijom sabiranja ili oduzimanja.

x+y,   x²-y,   3+2y,  zx – y³, …

Trinom je polinom koji sadrži tri člana povezanih operacijama sabiranja ili oduzimanja.

x²+xy-3,    x³y+x+5,    2x⁴+y⁵+z, …

Kvadrat binoma. Za izraze A i B važi:

(A-B)² = A²-2AB+B²,

(A+B)² = A²+2AB+B².

Rastaviti na činioce sledeće polinome:

a) 9x²-42x+49,
b) x²+3x-4.

a) 9x²-42x+49=(3x)²-2 3x 7+7²=(3x-7)².

Zadati izraz se naziva kvadratni trinom. Kvadratni trinom, koji se može zapisati u obliku: A²-2AB+B² (kao u ovom primeru) ili A²+2AB+B² naziva se potpuni kvadratni trinom. Ovako zapisani kvadratni trinom se lako faktoriše u oblik kvadrata binoma.

Zadati kvadratni trinom nije potpun. Metod koji se koristi u ovom slučaju se naziva ”metod dopune do kvadrata binoma”. Ipak, napomenimo da ni ovom metodom nije moguće svaki kvadratni trinom rastaviti na činioce.

Kub binoma. Za izraze A i B važi:

(A-B)³ = A³-3A²B+3AB²-B³,
(A+B)³ = A³+3A²B+3AB²+B³

Rastaviti na činioce sledeće polinome:

a) 27x³-54x²y+36xy²-8y³,

b) 16+54x+18x²+2x³.

a) 27x³-54x²y+36xy²-8y³=27x³-392x²y+334xy²-8y³= (3x)³-3(3x)²2y+33x(2y)²-(2y)³=(3x-2y)³.

b) 16+24x+12x²+2x² = 2(8+12x+6x²+x³)= 2(23+322x+32x²-x³)=2(2+x)³.

Zadaci i testovi za vežbanje