Oblast: Geometrija
Lekcija: Krug
Razred: 1. razred srednje škole

Neka je C tačka ravni α i r data duž. Skup svih tačaka K ravni α takvih da je CK=r, naziva se kružnom linijom ili krugom. Tačka C je centar, a duž r je poluprečnik kruga. (Slika 1.) Krug sa centrom u tački C, poluprečnika r se označava sa:

k(C,r)

Međusobni položaj prave i kruga

Centralno rastojanje prave (rastojanje prave od centra kruga) je dužina normale povučene iz centra na datu pravu. (Slika 2.) Posmatramo sledeće slučajeve:

• centralno rastojanje prave je manje od dužine poluprečnika r – prava seče krug i tu pravu nazivamo sečica, sečica i krug imaju dve zajedničke tačke koje određuju tetivu, najduža tetiva sadrži centar kruga i nju nazivamo prečnik kruga;
• centralno rastojanje prave je jednako dužini poluprečnika r – prava i krug sadrže samo jednu zajedničku tačku, ta prava se naziva tangenta kruga, tangenta je normalna na dodirni poluprečnik kruga;
• centralno rastojanje prave je veće od dužine poluprečnika r – prava se nalazi van kruga.

Centralni i periferijski ugao

Ugao u ravni kruga čije je teme u centru kruga naziva se centralni ugao. Kraci centralnog ugla sadrže poluprečnike tog kruga.

Ugao čije je teme neka tačka na krugu, a kraci sadrže tetive kruga naziva se periferijski ugao.

• Neka je dat krug k(O,r)  i na njemu tačke A i B koje određuju tetivu AB. (Slika 3.)
• Ugao AOB je centralni ugao koji odgovara tetivi AB.
• Dalje, neka je M proizvoljna tačka na datom krugu k(O,r).
• Ugao AMB je periferijski ugao koji odgovara centralnom uglu AOB.

Centralni i periferijski ugao su u ovom slučaju odgovarajući uglovi nad istom tetivom.

Ako je tačka M sa iste strane tetive AB na kojoj se nalazi i centar kruga O tada periferijski ugao odgovara konveksnom centralnom uglu (ovaj slučaj je prikazan na slici).

Ako je tačka M sa suprotne strane tetive AB u odnosu na centar kruga O tada periferijski ugao odgovara nekonveksnom centralnom uglu.

Centralni ugao je dva puta veći od odgovarajućeg periferijskog ugla.

Posledice predhodnog stava su sledeće:

• periferijski ugao nad prečnikom je prav;
• svi periferijski uglovi jednog kruga nad istom tetivom jednaki su među sobom;
• svi periferijski uglovi nad jednakim tetivama (u jednom krugu ili podudarnim krugovima) jednaki su među sobom.

Tangetni ugao

Ugao koji određuje tetiva sa tangentom u jednoj krajnjoj tački tetive naiva se tangentni ugao. Tangentni ugao jednak je periferijskom uglu koji odgovara toj tetivi. (Slika 4.)

Tangentne duži iz iste tačke su jednake među sobom. (Slika 5.)

Tangetni i tetivni četvorougao

Četvorougao u koji se može upisati krug, tako da svaka stranica četvorougla dodiruje krug naziva se tangentnim četvorouglom.

Četvorougao ABCD je tangentan ako i samo ako je AB+CD = BC+AD. (Slika 6.)

Četvorougao koji je upisan u krug, tako da su mu sva temena na krugu naziva se tetivnim četvorouglom.

Četvorougao ABCD je tetivan ako i samo ako je zbir naspramnih uglova jednak opruženom uglu, tj. α+γ=β+δ=180°. (Slika 7.)

Zadaci i testovi za vežbanje