Oblast: Realni brojevi
Lekcija: Kvadrat racionalnog broja
Razred: 7. razred osnovne škole

Kvadrat broja a, u oznaci a², je proizvod broja a sa samim sobom:

a² = a • a

(a² se čita: “a na kvadrat”).

Operacija množenja broja sa samim sobom se naziva kvadriranje.

Racionalni broj je količnik dva cela broja p i q gde je broj q različit od nule:

^p/_q ,   q≠0.

Kvadrat racionalnog broja koji je različitog od nule (^p/_q ≠ 0) je pozitivan broj, tj. ako je   ^p/_q ≠ 0  tada je  (^p/_q)² >0.

Primer 1: Izračunati kvadrate racionalnih brojeva:

Rešenje:

Kvadrat nule je nula: 0²= 0 0 =0.

Dakle, kvadrat svakog racionalnog broja je nenegativan broj (nenegativan znači da može biti pozitivan ili nula).

Neka su a i b dva racionalna broja, tada važi:

(ab)² = (a b) (a b) = a b a b = a a b b = a² b²

Kvadrat proizvoda dva racionalna broja jednak je proizvodu kvadrata ta dva broja:

(ab)²=a² b²

Neka su a i b  dva racionalna broja pri čemu je b≠0, tada važi:

(^a/_b)² = ^a/_b  ^a/_b = a ab b = a² b²

Kvadrat količnika dva racionalna broja jednak je količniku kvadrata ta dva broja.

Osobine kvadrata racionalnog broja:

1. Ako je apsolutna vrednost racionalnog broja manja od jedan tada je kvadrat racionalnog broja manji od svoje apsolutne vrednosti, tj.

za |a|<1 je a²<|a|,

osim u slučaju da je apsolutna vrednost broja jednaka nula, jer je tada i kvadrat broja jednak nuli, tj.

za |a|=0 je a²=|a|

Npr. neka je a = –³/₄

|-³/₄| = ³/₄,             (³/₄)² = (-³/₄)(-³/₄) = ⁹/₁₆,

⁹/₁₆ < ³/₄   a² < |a|

Npr. neka je a=0

|0|=0,       0²= 0 0 =0 ,

0 = 0  a² = |a|

2. Ako je apsolutna vrednost racionalnog broja jednaka jedan tada je kvadrat racionalnog broja jednak jedan, tj.

za |a|=1   je  a²=|a|

Npr. neka je a=1

|1|=1,      (1)²=(1) (1)=1

1=1   a²<|a|

3. Ako je apsolutna vrednost racionalnog broja veća od jedan tada je kvadrat racionalnog broja veći od apsolutne vrednosti tog broja, tj.

za |a|>1   je  a²>|a|

Npr. neka je a = –⁹/₄

|-⁹/₄| = ⁹/₄,             (⁹/₄)² = (⁹/₄)(⁹/₄) = ⁸¹/₁₆,

⁸¹/₁₆ > ⁹/₄

Zadaci i testovi za vežbanje