Oblast: Geometrija
Lekcija: Trougao. Značajne tačke trougla
Razred: 1. razred srednje škole

Osnovne elemente trougla smo prikazali ranije (lekcija o konstrukcijama trougla), dalje razmatramo uglove trougla, osobine koje važe za stranice trougla i značajne tačke trougla.

Uglovi trougla

Zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog trougla jednak je opruženom uglu tj. 180°.

α+β+γ=180°

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla.

α₁=β+γ,     β₁=α+γ,     γ₁=α+β,

α₁, β₁, γ₁ – spoljašnji uglovi trougla.

Spoljašnji ugao trougla je suplementan odgovarajućem unutrašnjem uglu trougla.

α+α₁=180°,      β+β₁=180°,     γ+γ₁=180°

Zbir spoljašnjih uglova jednak je punom uglu tj. 360°.

α₁+β₁+γ₁=360°.

• Svaki trougao može da ima najviše jedan tup ugao (druga dva su oštri uglovi).
• Svaki trougao može da ima najviše jedan prav ugao (druga dva su oštri uglovi).

Podela trouglova prema uglovima:

• oštrougli trougao (sva tri ugla su oštra);
• pravougli trougao (jedan ugao je prav, dva su oštra);
• tupougli trougao (jedan ugao je tup, dva su oštra).

Oštri uglovi pravouglog trougla su komplementarni.

Ako su dva ugla jednog trougla jednaki odgovarajućim uglovima drugog trougla, onda su im i preostali (treći) uglovi jednaki.

Stranice trougla

U svakom trouglu zbir dve stranice veći je od treće stranice, a razlika dve stranice manja je od treće stranice.

a<b+c,     b<a+c,    c<a+b

a>b-c,     b>a-c,    c>a-b

Naspram jednakih stranica nalaze se jednaki uglovi.

Stranica a trougla ABC je veća od stranice b ako i samo ako je naspramni ugao α veći od ugla β.

a>b ⇔ α>β

Dakle, naspram veće stranice trougla nalazi se veći ugao.

Podela trouglova prema stranicama:

• raznostranični trougao (sve tri stranice su različite);
• jednakostranični trougao (sve tri stranice su jednake);
• jednakokraki trougao (dve stranice su jednake).

Svi uglovi jednakostraničnog trougla su jednaki i iznose 60°.

Kod jednakokrakog trougla uglovi na osnovici su uvek oštri. Jednakokraki pravougli trougao ima oštre uglove od 45° stepeni.

Značajne tačke trougla

Simetrala ugla je prava koja deli dati ugao na dva jednaka dela.

Simetrala duži je prava normalna na duž koja deli datu duž na dva jednaka dela.

Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tački koja predstavlja centar upisanog kruga trougla. (Slika 1.)

Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački koja predstavlja centar opisanog kruga trougla. (Slika 2.)

Visina trougla je duž čija je jedna krajnja tačka u temenu trougla, a druga na naspramnoj stranici sa kojom duž zaklapa prav ugao (normalna je na naspramnu stranicu).

Prave koje sadrže visine trougla seku se u jednoj tački koja se naziva ortocentar trougla.

Dakle, ortocentar je tačka u kojoj se seku visine trougla. (Slika 3.)

Težišna linija je duž čija je jedna krajnja tačka u temenu trougla, a druga na sredini naspramne stranice.

Težišne linije trougla seku se u jednoj tački koja se naziva težište trougla. (Slika 4.)

Dužina dela težišne linije od težišta do temena dva puta je veća od dužine dela od težišta do središta naspramne stranice.

Zadaci i testovi za vežbanje