Oblast: Homotetija
Lekcija: Homotetija i sličnost, sličnost trouglova
Razred: 1. razred srednje škole

Homotetija

Neka je O data tačka i k dati broj različit od nule. Preslikavanje H_o figure F na figure F₁, pri kojem svakoj tački M∈F odgovara tačka M₁∈F₁, takva da je  OM₁=k OM, naziva se  homotetija sa centrom O i koeficijentom k. Označava se sa:

H_o(F) = F₁

Tačka O se naziva centrom homotetije, a k je koeficijent homotetije.

Svojstva homotetije

Homotetija ne menja raspored tačaka prave.

Homotetija prevodi ugao na podudarni ugao sa paralelnim kracima.

Sličnost

Preslikavanje P_k, ravni α na samu sebe, koje svake dve tačke A i B prevodi u tačke  A₁ i B₁ tako da je A₁B₁ = k AB gde je k dati pozitivan broj, naziva se tranformacija sličnosti (kraće sličnost) sa koeficijentom k.

Kompozicija sličnosti sa koeficijentom k i homotetije sa koeficijentom ¹/_k je izometrija.

Svaka transformacija sličnosti može se predstaviti kao kompozicija jedne homotetije i jedne izometrije.

Homotetija sa koeficijentom k je transformacija sličnosti sa koeficijentom k₁=|k|.

Za dve figure F i F₁ se kaže da su slične (sa koeficijentom sličnosti k) ako postoji transformacija sličnosti P_k, koja figuru F prevodi na figuru F₁. Sličnost dve figure se označava sa:

F ∼ F₁

Sličnost trouglova

Prvi stav sličnosti. Dva trougla ABC i A₁B₁C₁ su slična ako i samo ako je jedan par stranica jednog trougla proporcionalan paru stranica drugog trougla, a uglovi zahvaćeni ovim stranicama jednaki među sobom.

Drugi stav sličnosti. Dva trougla ABC i A₁B₁C₁ su slična ako i samo ako su dva ugla jednog trougla jednaka dvoma odgovarajućim uglovima drugog trougla.

Treći stav sličnosti. Dva trougla ABC i A₁B₁C₁ su slična ako i samo ako su im sve odgovarajuće stranice proporcionalne.

Četvrti stav sličnosti. Dva trougla ABC i A₁B₁C₁ su slična ako i samo ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne sa odgovarajućim stranicama drugog trougla, uglovi naspram tih dveju stranica jednaki, a naspram drugih dveju odgovarajućih stranica su oba ugla oštra,oba prava, ili oba tupa.

Na osnovu datih stavova, može se zaključiti i sledeće:

• dva pravougla trougla su slična ako su im proporcionalne katete;
• dva pravougla trougla su slična ako imaju jednak po jedan oštar ugao;
• dva pravougla trougla su slična ako su im hipotenuze proporcionalne jednom paru kateta;
• dva jednakostranična trougla su uvek slična.

Zadaci i testovi za vežbanje