Oblast: Realni brojevi
Lekcija: Iracionalni brojevi
Razred: 7. razred osnovne škole

Pojam iracionalnog broja može se objasniti rešavanjem jednačine:

x² = 2

rešenja ove jednačine su:

x = √2  i x  = -√2

Postavlja se pitanje kakav je broj √2?

Da li je √2 prirodan broj? Nije, jer ne postoji prirodan broj čiji je kvadrat jednak 2 (1² = 1, 2² = 4). Ujedno to znači da √2 nije ceo broj (negativne cele brojeve nije potrebno ni uzimati u obzir jer je rešenje kvadratnog korena uvek nenegativan broj).

Da li je √2 racionalan broj?

Pre odgovora podsetimo se, racionalni broj je količnik dva cela broja p i q gde je broj q≠0:

^p/_q ,   q≠0

Takođe, za racionalne brojeve važi osobina da su p i q uzajamo prosti brojevi (uzajamno prosti brojevi nemaju zajednički delilac veći od broja 1).

Odgovor na gornje pitanje je dat tako što je pretpostavljeno da je √2 jeste racionalan broj. Ako je √2 racionalan broj onda se on može zapisati u obliku:

√2 = ^p/_q

gde su p i q uzajamo prosti prirodni brojevi (prirodni jer je 2 >0). Iz date jednakosti sledi:

Vidi se da je p² deljivo sa brojem 2. To znači i da je broj p deljiv sa brojem 2, pa važi:

p=2k,    p² = (2k)²,    p² = 4k²  (k je prirodan broj)

Dalje, iz p² = 2q² i p² = 4k² dobija se:

2q² = 4k²,   q² = 2k²

Vidi se da je q² deljivo sa brojem 2, a onda je i broj q deljiv sa 2.

Brojevi p i q  su deljivi sa 2, a to znači da nisu uzajamno prosti brojevi (njihov zajednički delilac je veći od 1) kao što je pretpostavljeno na početku.

Dakle, √2 nije racionalan broj. Iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu zapisati u obliku:

^p/_q ,   q≠0

gde su p i q  uzajamno prosti brojevi.

Drugim rečima, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu prikazati u obliku razlomka. Iracionalni brojevi su svi brojevi koji nisu racionalni. Skup iracionalnih brojeva se označava sa I.

Iracionalan broj ima beskonačno mnogo decimala koje nisu periodične.

Primeri iracionalnih brojeva:

• √2 = 1,414213562373…
• √3 = 1,732050807568…
• √5 = 2,236067977499…
• -√2 = -1,414213562373…
• -√3 = -1,732050807568…
• -√5 = -2,236067977499…

Primetimo, kada je potkorena veličina broj koji nije kvadrat nekog broja, u pitanju je iracionalni broj.

Zadaci i testovi za vežbanje